Гармония, Единение, Любовь, Искренность,
Оптимизм, Свобода - ГЕЛИОС

На главную страницу  -  Содержание учебной программы

Математика в музыке

Учебный цикл IV.
Возможности новой жизни

· Почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства её должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы. (Плутарх)

· Настоящая наука и настоящая музыка требуют однородного мыслительного процесса.( Альберт Эйнштейн)

· Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая.( Готфрид Лейбниц)

· Пройдут миллионы лет, и если музыка в нашем смысле будет ещё существовать, то те же семь основных тонов нашей гаммы, в их мелодических и гармонических комбинациях, оживляемые ритмом, будут всё ещё служить источником новых музыкальных мыслей. (Пётр Чайковский)

· Чрезвычайная бедность, шаткость и разрозненность существующих основ музыкальной эстетики побуждает нас пытливо всматриваться во всякое закономерное явление, относящееся к этой области, в надежде приподнять хотя бы уголок изидовой завесы, скрывающей от нашего умственного взора таинственные творческие законы природы. (Э.Розенов)

· Она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для музыкантов - остроты современников по поводу «новой теории музыки». (Леонард Эйлер)

· Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришёл к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства. (Генрих Нейгауз)

С раннего Средневековья музыка вошла в разряд математических наук, что и позволило им проскользнуть в новом обличье в систему средневековой учености. Математика же, преданная естественнонаучным интересам, была изгнана из системы средневековой культуры. Закон императора Феодосия гласил: «Никто да не советуется с математиком или гадателем». В кодексе Юстиниана в разделе «О злоумышленниках, математиках и тому подобных» говорилось: «Само же достойное осуждения искусство математики воспрещается совершенно». Только то соображение, что музыка, в отличие от прочих наук, прямо сносится с «моральной способностью», позволило ей приютить математику во время гонений на античную культуру. Этот факт подчеркивал, например, выдающийся энциклопедист средневековья Беда Достопочтенный: «Польза от музыки велика, удивительна и очень совершенна, раз она осмелилась войти во врата церкви. Ведь ни одна из наук не осмелилась войти в пределы церкви, кроме музыки». Математика выжила в образе музыки, празднующей в начале средневековья свой новый расцвет.

Классификация музыкальных дисциплин, установленная в это время Боэцием и разделившая музыку на мировую, человеческую и инструментальную, прошла через все средневековье. «Мировая музыка» выражает все ритмы мира: пропорции во вращениях небесных сфер, соотношения времен года, порядок стихий и элементов – всю организация мира во времени. «Человеческая музыка» (ритмика человеческой жизни) отражает этот всепроникающий мировой поток в «микрокосм» человеческого тела. В отличие от античной «музыки сфер», это – нововведение средневековья, смысл которого был совершенно внятным для современников Боэция: «А что такое человеческая музыка, знает каждый, кто углублялся в себя». И только «инструментальная музыка», призываемая сделать два первые ее рода слышными, оставалась музыкой в нашем смысле этого слова. 

Гейн А.Г., Касымов А.О.

"Музыку я разъял как труп,
Проверив алгеброй гармонию."

От этих слов, вложенных А.С. Пушкиным в уста Сальери, веет мертвящей пропастью между музыкой и математикой. Отравлен Моцарт - живое воплощение музыки, и сама музыка мертва под математическим скальпелем убийцы гения. Разве не отражают эти пушкинские строки мнение большинства людей, что между математикой и музыкой нет и не может быть ничего общего?

Между тем именно исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики: Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан д'Аламбер, Леонард Эйлер, Даниил Бернулли. Первый труд Рене Декарта - "Compendium Musicae" ("Трактат о музыке"); первая крупная работа Леонарда Эйлера - "Диссертация о звуке". Эта работа 1727 года начиналась словами: "Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков". Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: "Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать". И Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это проявление скрытой математики".

Почему же скрытой? Ведь в Древней Греции музыка прямо считалась частью математики, а еще точнее, разделом теории чисел. Первым, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор - тот самый, чьим именем названа знаменитая теорема. И в XVII веке французский философ, физик, математик Марен Мерсенн в трактате "Истина наук против скептиков или пирроников" также рассматривал музыку как отрасль математики.

Сейчас вряд ли кто-нибудь решиться сводить музыку к определенным числовым закономерностям. Тем не менее, математика и музыка связаны друг с другом замечательным и подчас совершенно удивительным образом.

В наше время музыкой могут быть названы и чарующие переливы арфы, и скрип открываемой двери, и шум заводского цеха, и оркестр настроенных на разные станции радиоприемников. Все это - искусство организации звуковых последовательностей. Однако симфонии Моцарта существенно отличаются от произведений авторов "индустриальной музыки", причем речь не о художественных достоинствах этих сочинений, а о материале, из которого они "изготовлены". "Сырьем" для большинства сонат, песен, опер служат музыкальные звуки (их мы еще будем называть нотами), которые отличаются от шумов. Чтобы прояснить суть этого отличия, уточним, что же такое звук.

Всякий звук - это воспринимаемые человеческим ухом колебания среды, обычно воздуха. Источником колебаний могут быть голосовые связки певца, струна музыкального инструмента, плохо смазанная дверь и т.п. Одна из основных характеристик колебательного процесса - частота колебаний. Музыкальные звуки имеют ту особенность, что им присуща вполне определенная частота колебаний. А вот про шумы нельзя сказать, что им соответствует какая-либо конкретная частота - они представляют собой беспорядочную смесь нескольких колебательных процессов самой различной частоты. Напомним заодно, что частота измеряется в Герцах - числе полных колебаний в секунду, обозначение Гц.

Когда говорят о частоте колебаний, определяющей ту или иную ноту, обычно употребляют термин высота звука. То, что звуки имеют высоту, не значит, что они отличаются ростом, или что нужно подняться на цыпочки, чтобы услышать высокие ноты и глубоко присесть, чтобы прочувствовать басы. Ощущение высоты - это психологическая форма восприятия частоты колебаний звучащего тела, и чем больше частота колебаний, тем выше кажется звук и наоборот. Вполне возможно, что кому-то высокие ноты кажутся тонкими, а низкие толстыми.

Человеческое ухо способно воспринимать звук, частота которого заключена приблизительно в интервале от 16 до 16000 Гц. В музыке используется диапазон от 16 до примерно 5000 Гц. Даже если считать только звуки с целым значением частоты, то получиться около 5 тысяч, а ведь есть еще звуки с частотой 100,5; 3333, 14159 и т.д. Между тем, концертный рояль - инструмент с огромным звуковым диапазоном - имеет всего 87 клавиш. Более того, через каждые двенадцать клавиш повторяется их расположение и их названия. И очень высокие и очень низкие звуки носят одни и те же повторяющиеся имена: до, фа-диез, ля-бемоль. Постараемся понять, каким образом из всего многообразия звуков были отобраны именно те, к которым мы привыкли, и почему именно через каждые 12 клавиш повторяются названия нот. Для начала займемся измерениями. А где измерения, там вступает в свои права математика.

Раз уж звуки различаются по высоте, то естественно задать вопрос: "Насколько один звук выше другого?". Ответ на него не так прост, как может показаться. Первое, что приходит в голову - подсчитать разность числа колебаний, определяющих один и второй звук. Оказывается, однако, что это число не очень-то и интересно. Намного важнее не разность частот, а их отношение. Возьмем две пары звуков: первую - с частотами 64 и 96 Гц, а вторую - с частотами 512 и 768 Гц. На слух звук с частотой 96 Гц настолько же выше звука с частотой 64 Гц, насколько звук в 768 Гц выше звука в 512 Гц. При этом разность между частотами для первой пары равна 32, а для второй 256. Отношение же для каждой пары одно и то же и равно 3/2.

Расстояние между нотами, определяемое отношением их частот, называется интервалом. Некоторые, наиболее важные в музыке интервалы получили свои собственные имена. Так, отношение частот 3/2 определяет очень важный интервал квинты, еще более важен интервал октавы - его образуют две ноты с отношением частот 2. Две одинаковые по высоте ноты относятся друг к другу с коэффициентом 1 и образуют интервал примы.

Интервалы имеют направление и могут определять движение как вверх так и вниз. Переход от ноты с частотой w к ноте с частотой 2w дает октаву вверх, к ноте с частотой 2w/3 - квинту вниз.

Чем же важен интервал октавы? Пусть наш исходный звук - нота до первой октавы (она имеет частоту 512 Гц). Возьмем от нее октаву вверх и октаву вниз. На слух эти три звука очень похожи, практически сливаются в одно целое. Поэтому обе получившиеся ноты также называются до, только расположены они в других октавах. Таким образом, частоты любых двух одноименных нот относятся друг к другу как некоторая степень числа 2.

Только что мы встретились с важнейшей особенностью музыкально-математических исследований: результаты применения численных методов все время должны проверяться человеческим ухом. Первым, кто в построении теории музыки отдавал приоритет слуховым ощущения, был ученик Аристотеля Аристоксен. Основателем школы, ставившей во главу угла математические соотношения, был Пифагор. Его же признают создателем первой музыкальной теории.

Для своих исследований Пифагор использовал так называемый монохорд (в переводе с греческого - однострунный). Инструмент представлял собой четырехугольный ящик длиной около 1 метра, над верхней декой (доской) располагалась одна струна, ограниченная с двух сторон порожками. Под струной располагалась двигающаяся подставка, которая позволяла изменять высоту звука.

Вообще говоря, высота звука, издаваемого струной, определяется несколькими параметрами - длиной и толщиной струны, плотностью материала, из которого она изготовлена, натяжением и т.д. Когда свойства звука изучаются на монохорде, то толщина струны, ее натяжение и плотность материала остаются неизменными. Высота извлекаемого звука изменяется простым смещением подставки.

Мы уже упоминали о том, что шумы - это беспорядочная смесь звуков различной высоты, тогда как музыкальный звук соответствует вполне определенной частоте колебаний. На самом деле в любой ноте основной звук сопровождается призвуками, называемыми обертонами (от немецкого Obertone - высокий звук). Обертоны слышны гораздо слабее и не мешают восприятию основного тона, но придают звуку ту или иную тембровую окраску. То, что одна и та же нота в исполнении разных инструментов звучит по-разному, вызвано присутствием разных обертонов в палитре этих инструментов.

Частота, с которой колеблется вся струна целиком, определяет так называемый основной тон. Колебания частей струны вызывают появление обертонов. Самые сильный обертон возникает при колебаниях 1/2 части струны, слабее 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. Соответственно соотношение частот (или высот) этих обертонов выглядит так: 1:2:3:4:5:6... Это так называемый натуральный или гармонический ряд звуков, и соответствующие обертоны тоже называются гармоническими.

Математическое описание этого явления было дано значительно позже усилиями д'Аламбера, Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа. Прежде всего отметим, что для описания колебаний точки около положения равновесия нужна всего одна переменная x, показывающая на сколько отклоняется точка от положения равновесия в момент времени t. В наиболее простом случае периодических колебаний с постоянной амплитудой зависимость x от времени описывается формулой x = Acoswt, где A - амплитуда, а w - частота колебаний.

Если колеблется протяженное тело, например, струна, то нам потребуется описать колебание каждой точки этого тела, т.е. функция, описывающая отклонение тела, имеет два аргумента: координату точки струны и время. Скажем, такая функция может выражаться следующей формулой:

y = A sin

2p l

xcoswt,

где A - амплитуда, l - длина струны, x - координата точки струны, а w - частота колебаний

Впрочем, формула, описывающая колебательный процесс, может быть и более сложной, например, такой:

y = A sin

2p l

x coswt+Bsin

4p l

xcos2wt.

Здесь вовсе не случайно во втором слагаемом удвоены коэффициенты при аргументах. Удвоение коэффициента при x соответствует уменьшению вдвое длины струны, удвоение коэффициента при t вдвое увеличивает частоту колебаний.

Первым решение задачи колебания струны нашел д'Аламбер (1747), проинтегрировав уравнение в частных производных

¶^2y ¶t^2

= a^2

¶^2y ¶x^2

.

Здесь t - время, а y(x, t) - функция, выражающая отклонение от положения покоя точки с координатой x в момент времени t, a² - коэффициент пропорциональности, отражающий упругие свойства струны (a² = F/p, где F - сила натяжения струны, а p - ее плотность). Оказалось, что каждое решение этого уравнения можно записать в виде такой (конечной или бесконечной) суммы:

y = A1 sin

2p l

x cos(wt+f1)+A2 sin

4p l

x cos(2wt+f2)+ ... +Aksin

2kp l

x cos(kwt+fk)+....

Амплитудные коэффициенты A₁, A₂,..., A_k,... и фазы колебаний f₁, f₂,..., f_k,... зависят от начального состояния струны: в каком месте и на какую величину струна оттянута, с какой силой и в каком месте по струне ударяет молоточек и т.д.

Первое слагаемое в этой сумме отвечает за колебание струны в целом, т.е. определяет основной тон. Все последующие слагаемые соответствуют в точности гармоническим обертонам. Вот математика и объяснила нам, почему на струнном инструменте мы, извлекая некоторый звук, вместе с основным тоном автоматически получаем гармонические обертоны. Хорошо, что наличие гармонических обертонов не вызывает у нас неприятных ощущений. Иначе мы не смогли бы слушать даже самый короткий музыкальный отрывок состоящий из одной ноты, не говоря уже о целой симфонии. Математический анализ колебаний струны показывает, что амплитудные коэффициенты быстро убывают с ростом номера. Поэтому, в частности, на слух гармонические обертоны практически сливаются с основным тоном и, чтобы их выделить, надо приложить некоторые усилия.

Если колеблющееся тело плоское или пространственное, как, например, барабан или колокол, то процесс колебаний математика описывает похожими уравнениями:

¶^2z ¶t^2

= a^2

¶^2z ¶x^2

+b^2

¶^2z ¶y^2

и

¶^2w ¶t^2

= a^2

¶^2w ¶x^2

+b^2

¶^2w ¶y^2

+c^2

¶^2w ¶z^2

.

Но описание решений для них получаются намного более сложным, и анализировать эти решения гораздо труднее.

Для писем: nvpminsk@yandex.ru